Pythonで1自由度減衰系の自由振動シミュレーション

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前回はばねと質点のみのモデルを扱いましたが、今回は減衰を考慮したモデルのシミュレーションをPythonで学びます。

こんにちは。wat(@watlablog)です。
単一の質点をベースとした系からは様々な本質的なことが学べます。今回はばね質点系にダンパーという減衰を追加したモデルのシミュレーションをPythonで学びます。

1自由度減衰系とは?

前回の記事「Pythonで1自由度非減衰系の自由振動シミュレーション」では減衰系を扱いましたが、今回は減衰系を扱います。

以下の図が1自由度減衰系のモデルです。1つの質点にばねとダンパー(ダッシュポットとも言う)が並列に接続されたモデルです。

1自由度減衰系のモデル

このダンパーというのは、現実の構造物には必ず含まれている要素で、減衰効果を発生させます。

実際の自由振動の例を以下の図に示します。

この図はピアノのA音を打鍵した時の音圧信号を示していますが、時間とともに振幅がどんどん小さくなっています。打鍵したら永遠に音が鳴り続けるピアノがあり得ないことは、誰しも感覚的によくわかることと思いますが、振動現象としてしっかり説明するためには減衰の理解が必要です。

実際の自由振動に発生する減衰効果

以下の式が今回対象とする1自由度減衰系の自由振動を説明するための運動方程式です。

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx= 0 (1)$$

前回の非減衰系と比べると、減衰係数\(c\)[N・s/m]が入っているのが違いとなります。今回はこの方程式をPythonでシミュレーションしてみます

Pythonによる振動シミュレーションのコード

全コード

コードの内容は前回の記事である「Pythonで1自由度非減衰系の自由振動シミュレーション」とほとんど同じです。

ここでは変化点のみを記載します。

まず変数変換を式(2)で行う所は一緒です。

\[ \begin{cases}
x_{1}= x \\
x_{2}= \dot{x}
\end{cases} (2)
\]

これを\(\dot{x_{2}}\)について整理することで以下の式(3)を得ます。

$$\dot{x_{2}}= -\frac{c}{m}x_{2}-\frac{k}{m}x_{1} (3)$$

今回のシミュレーションの全コードを以下に示します。

理論値の計算(減衰振動(\(0<\zeta<1\))の場合)

先ほどの全コードには既に理論値の式が入っていますが、ここではシミュレーションと比較するための理論値の計算を説明します。

減衰を含む系では臨界減衰係数\(c_{c}\)という重要なパラメータが存在します。この臨界減衰係数は質量\(m\)と剛性\(k\)によって式(4)により一意に決まります。

$$c_{c}= 2\sqrt{mk} (4)$$

臨界減衰係数\(c_{c}\)は式(5)の減衰比\(\zeta\)を計算する時に使います。後で説明しますが、この減衰比\(\zeta\)は系の振動の仕方を判断する重要な因子です。

$$\zeta= \frac{c}{c_{c}} (5)$$

固有角振動数\(\omega\)は前回の非減衰系では式(6)で決まりましたが、減衰を含む自由振動の固有振動数は式(7)になります。

$$\omega= \sqrt{{\frac{k}{m}}} (6)$$

$$\omega _{d}= \omega \sqrt{1-\zeta ^{2}} (7)$$

理論値は式の見た目を簡単にするために式(8)と式(9)、そして式(10)を導入して式(11)を使って算出します。

$$\sigma = \omega \zeta (8) $$

$$X= \sqrt{x_{0}^{2}+\left ( \frac{v_{0}+\sigma x_{0}}{\omega _{d}} \right )^{2}} (9)$$

$$\phi = tan^{-1}\left ( \frac{v_{0}+\sigma x_{0}}{x_{0}\omega _{d}} \right ) (10)$$

$$x= e^{-\sigma t}Xcos\left ( \omega _{d}t-\phi \right ) (11)$$

実行結果(理論値との比較)

以下が今回のPythonプログラムの実行結果です。\(\zeta=0.11\)の場合、初めは振動していた質点も次第に減衰し止まっていく様子がわかります。

odeintによる数値計算結果は理論値ともよく一致していることがわかります。

減衰振動の理論値と数値計算の比較

実行結果(\(\zeta\)の違いによる振る舞いを観察)

以下の図は減衰比\(\zeta\)を3パターンに振って振動の振る舞いを観察してみた結果です。

減衰比\(\zeta\)が1より小さい場合は振動はしますが、時間により振幅が減衰する減衰振動の状態になります。

一方、\(\zeta\)が1を超えると、振動現象は一切起こらない過減衰の状態になります。

ちなみに\(\zeta=1\)の場合を臨界減衰と呼びます。

減衰比による振動の違い

追記:理論値の場合分け

\(\zeta\)による式の変化

上の理論式は減衰振動にのみ対応していました。汎用性が無いので、減衰比による場合分けに対応させてみます。

しかし…式の導出は少々長いので、Wikipediaの減衰振動のページをカンニングしました!

まず、無次元初期速度を式(12)とおくと、

\[
\sigma_{v0} = \frac{v_{0}}{x_{0} \omega} \tag{12}
\]

\(\zeta = 1\) の臨界減衰の場合の変位\(x\)は式(13)となります。

\[ x=x_{0}e^{- \omega t} \left \{ (\sigma_{v0} + 1) \omega t + 1 \right \}\tag{13} \]

また、\(\zeta>1\)の過減衰の場合の変位\(x\)は式(14)になります。

\[ x=x_{0}e^{-\zeta \omega t}\left \{\cosh \left ( \omega t \sqrt{\zeta^{2}-1}\right ) + \frac{\sigma_{v0}+\zeta}{\sqrt{\zeta^{2}-1}}\sinh \left ( \omega t \sqrt{\zeta^2-1}\right ) \right \}\tag{14} \]

Pythonコード

上のPythonコードで、理論値計算部分を以下に置き換えることで、理論値の条件分岐を表現します。

\(\zeta\)による理論値と解析値の比較

まずは減衰振動(\(0 < \zeta < 1\))の場合です。コード内でわかりやすく減衰係数の値を「c = 2 * np.sqrt(m * k) * 0.1」と\(\zeta=0.1\)となるようにして実行すると、以下の図を得ます。

減衰振動

続いて臨界減衰振動(\(\zeta=1\))となるように、「c = 2 * np.sqrt(m * k) * 1.0」と変更して実行すると以下の図を得ます。

臨界減衰振動

最後に、過減衰(\(\zeta>1\))となるよう「c = 2 * np.sqrt(m * k) * 2.0」と変更して実行すると以下の図を得ます。

過減衰振動

概ね近しい結果を得ました。
ただ、\(\zeta=0.9\)や\(\zeta=1.1\)付近になると理論値と解析値の乖離が大きくなるようです。

(コード内の式のトレースを間違っている可能性もありますが…、解析誤差?ここらへんはまだ検証をしていません)

まとめ

本ページでは1自由度の減衰系の運動方程式を紹介し、Pythonによるシミュレーションのコーディングを紹介しました。

基本は前回の非減衰系と同じで、odeintによる数値計算結果は、理論値と比較しても問題無いレベルであると確認しました。

これで1自由度非減衰と減衰系の振動シミュレーションができるようになりました!振動は強制振動、多自由度とこの後進みますが、全ての基本はここにあります!

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コメント

  1. アバター 鈴木 高登 より:

    はじめまして、ただいま大学院生ものです。
    Pythonを使って、1自由度減衰系の解析プログラミングを構築したいと思っていますが、なかなか実行できません。
    内容としては、減衰比の場合分けに関してのグラフを作りたいです。
    コードを教えていただけたら幸いです。よろしくお願い致します。

    1. wat wat より:

      コメントありがとうございます!
      Pythonのodeintは減衰比の値によって場合分けする必要もなく解析をしてくれます。
      ここで言う「減衰比の場合分け」とは、本ページに載せている「理論値」が過減衰や臨界減衰に対応していないため、それらに対応させて解析と理論を比較したいということでしょうか?
      そういう事であれば、本ページの「追記:理論値の場合分け」を追記しましたのでご覧頂きたいと思います(違ったらすみません…!)。

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