PythonでパーセプトロンのORゲートを実装する!

前回はニューラルネットワークの基礎であるパーセプトロンでANDゲートを作ってみました。さらなる理解のために、今回はOR回路を作って同じように特性をみてみます。

こんにちは。wat(@watlablog)です。
ディープラーニングを理解するために、引き続きパーセプトロンを学びます。
ここでは論理回路の1つであるOR回路をパーセプトロンで実装します。

パーセプトロンについては様々なWebページで紹介がされていますが、本記事は「斎藤康毅, ゼロから作るDeep Learning, オライリー・ジャパン, (2016), pp.21-27」で学んだ内容を元に、自分なりのコーディングをした結果をまとめています。式の解釈等詳細は書籍をご参照下さい。

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斎藤康毅

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目次（項目クリックでジャンプできます）

パーセプトロンでORゲートを作る！

ORゲートとは？

前回の記事「PythonでパーセプトロンのANDゲートを実装する！」でパーセプトロンの概要と論理回路、ANDゲートについては簡単に説明しました。今回は前回の話を前提に進みますので、もしよろしければご覧下さい。

今回はORゲートについてパーセプトロンで調べていきます。ORゲートとは、論理回路の1つで「論理和」を意味します。図にすると以下のようにANDゲートと異なり少しとがった形をしています。

真理値表は以下の表です。入力の中で少なくとも1つが1であれば1を出力するという回路です。

$x_{1}$	$x_{2}$	$y$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

パーセプトロンによるORゲートのコーディング

ANDゲートで一度Python標準関数による出力確認は実施したので、今回は飛ばして、いきなりパーセプトロンによるコーディングに入ります。

作ったのは以下の2入力のパーセプトロン関数です。ANDゲートの時に使った関数と全く同じものです。

#2入力パーセプトロンの関数
def perceptron(x1, x2, w1, w2, theta):
    f = w1 * x1 + w2 * x2
    if f <= theta:
        y = 0
    else:
        y = 1
    return y

#2入力パーセプトロンの関数

def perceptron(x1, x2, w1, w2, theta):

f = w1 * x1 + w2 * x2

if f <= theta:

y = 0

else:

y = 1

return y

この単純ニューラルネットワークは重み$w$と閾値$\theta$で出力の特性を変える、というのが強みなので引き続きパラメータの調整作業を行います。

以下が本文です。w1, w2, thetaに入っている値がORゲートの特性を実現するためのパラメータです。ANDの時と同様に組み合わせは無限にあります。

import numpy as np

x1 = np.array([0, 0, 1, 1])
x2 = np.array([0, 1, 0, 1])
w1 = 0.5
w2 = 0.5
theta = 0.2

for i in range(4):
    X1 = x1[i]
    X2 = x2[i]
    y = perceptron(X1, X2, w1, w2, theta)
    print(y)


>0
>1
>1
>1

import numpy as np

x1 = np.array([0, 0, 1, 1])

x2 = np.array([0, 1, 0, 1])

w1 = 0.5

w2 = 0.5

theta = 0.2

for i in range(4):

X1 = x1[i]

X2 = x2[i]

y = perceptron(X1, X2, w1, w2, theta)

print(y)

これを実行すると0, 1, 1, 1と真理値表通りの応答が得られるはずです。

さらに入力範囲を拡張してみる

ANDと同様に入力範囲を0と1以外に拡張してみます。するとやはりある所で線を引くことができ、その線を境に0と1が切り替わります。

パーセプトロンで作ったORゲートはこの1つの側面を見ているに過ぎないんですね。

上図の分布図は以下のコードで得ることができます。パラメータが異なるだけですが、詳しくは前回のANDゲートの記事を参照下さい。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#2入力パーセプトロンの関数
def perceptron(x1, x2, w1, w2, theta):
    f = w1 * x1 + w2 * x2
    if f <= theta:
        y = 0
    else:
        y = 1
    return y

x1 = np.array([0, 0, 1, 1, 0, 1, -1, -1, -1, 2, 0, 2, 1, 2, -1, 2])
x2 = np.array([0, 1, 0, 1, -1, -1, 0, -1, 1, 0, 2, 1, 2, 2, 2, -1])
w1 = 0.5
w2 = 0.5
theta = 0.2

#プロット用の配列（P0がy=0, P1がy=1の座標を入れるための配列）
P0_x = []
P0_y = []
P1_x = []
P1_y = []

#プロット用にデータを分類し格納する。
for i in range(16):
    X1 = x1[i]
    X2 = x2[i]
    y = perceptron(X1, X2, w1, w2, theta)
    print(y)
    if y == 0:
        P0_x.append(x1[i])
        P0_y.append(x2[i])
    else:
        P1_x.append(x1[i])
        P1_y.append(x2[i])

P0_x = np.array(P0_x)
P0_y = np.array(P0_y)
P1_x = np.array(P1_x)
P1_y = np.array(P1_y)

# ここからグラフ描画
# フォントの種類とサイズを設定する。
plt.rcParams['font.size'] = 14
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman'

# 目盛を内側にする。
plt.rcParams['xtick.direction'] = 'in'
plt.rcParams['ytick.direction'] = 'in'

# グラフの上下左右に目盛線を付ける。
fig = plt.figure()
ax1 = fig.add_subplot(111)
ax1.yaxis.set_ticks_position('both')
ax1.xaxis.set_ticks_position('both')

# 軸のラベルを設定する。
ax1.set_xlabel('$x_{1}$')
ax1.set_ylabel('$x_{2}$')

# データの範囲と刻み目盛を明示する。
ax1.set_xticks(np.arange(-3, 3, 1))
ax1.set_yticks(np.arange(-3, 3, 1))
ax1.set_xlim(-1.5, 2.5)
ax1.set_ylim(-1.5, 2.5)

# データプロットの準備とともに、ラベルと線の太さ、凡例の設置を行う。
ax1.scatter(P0_x, P0_y, facecolors = 'none', edgecolors = 'r', label='$y=0$', lw=1)
ax1.scatter(P1_x, P1_y, label='$y=1$', lw=1)

fig.tight_layout()

# グラフを表示する。
plt.show()
plt.close()

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt

#2入力パーセプトロンの関数

def perceptron(x1, x2, w1, w2, theta):

f = w1 * x1 + w2 * x2

if f <= theta:

y = 0

else:

y = 1

return y

x1 = np.array([0, 0, 1, 1, 0, 1, -1, -1, -1, 2, 0, 2, 1, 2, -1, 2])

x2 = np.array([0, 1, 0, 1, -1, -1, 0, -1, 1, 0, 2, 1, 2, 2, 2, -1])

w1 = 0.5

w2 = 0.5

theta = 0.2

#プロット用の配列（P0がy=0, P1がy=1の座標を入れるための配列）

P0_x = []

P0_y = []

P1_x = []

P1_y = []

#プロット用にデータを分類し格納する。

for i in range(16):

X1 = x1[i]

X2 = x2[i]

y = perceptron(X1, X2, w1, w2, theta)

print(y)

if y == 0:

P0_x.append(x1[i])

P0_y.append(x2[i])

else:

P1_x.append(x1[i])

P1_y.append(x2[i])

P0_x = np.array(P0_x)

P0_y = np.array(P0_y)

P1_x = np.array(P1_x)

P1_y = np.array(P1_y)

# ここからグラフ描画

# フォントの種類とサイズを設定する。

plt.rcParams['font.size'] = 14

plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman'

# 目盛を内側にする。

plt.rcParams['xtick.direction'] = 'in'

plt.rcParams['ytick.direction'] = 'in'

# グラフの上下左右に目盛線を付ける。

fig = plt.figure()

ax1 = fig.add_subplot(111)

ax1.yaxis.set_ticks_position('both')

ax1.xaxis.set_ticks_position('both')

# 軸のラベルを設定する。

ax1.set_xlabel('$x_{1}$')

ax1.set_ylabel('$x_{2}$')

# データの範囲と刻み目盛を明示する。

ax1.set_xticks(np.arange(-3, 3, 1))

ax1.set_yticks(np.arange(-3, 3, 1))

ax1.set_xlim(-1.5, 2.5)

ax1.set_ylim(-1.5, 2.5)

# データプロットの準備とともに、ラベルと線の太さ、凡例の設置を行う。

ax1.scatter(P0_x, P0_y, facecolors = 'none', edgecolors = 'r', label='$y=0$', lw=1)

ax1.scatter(P1_x, P1_y, label='$y=1$', lw=1)

fig.tight_layout()

# グラフを表示する。

plt.show()

plt.close()

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まとめ

このページではANDゲートに引き続き、ORゲートをパーセプトロンで実装してみました。

中身はパラメータ以外全くANDゲートと同じという、ちょっと拍子抜けするような記事になってしまいましたが、パラメータ以外は全く同じという部分に可能性を感じます。

歴史を見るとパーセプトロンは一度は下火になったアルゴリズムですが、現代ではこのアルゴリズムを基礎において、多層、4層以上でも学習を進めるためのディープネットワーク、活性化関数等工夫がされ盛り上がってきています。

何事も基礎をしっかり身に着けることは重要です。ディープラーニングにいきなり飛びつく前に、1層、3層等で十分経験を積んでみよう！

Twitterでも関連情報をつぶやいているので、wat(@watlablog)のフォローお待ちしています！

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ORゲートとは？

パーセプトロンによるORゲートのコーディング

さらに入力範囲を拡張してみる

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